朝まで時間あるし以前購入した少し前から進めていた「集合論・入門 無限への誘い」(遊星社) をやろうと思う。この本、公理的集合論の成果に裏打ちされた素朴な集合論の入門本で面白い。特徴としては一般的な集合論の本とは異なり、背理法を用いる証明がなく全部直接証明するらしい。なんかコンピュータで証明するときって背理法は使いずらい印象(気のせいかも)があるので背理法を使わない証明に慣れると良さそうであり、定理証明に関心のある私に丁度相性が良さそうと思いこの本を選択した。

そして後から気づいたことに最終章に「順序数」の章がある。これは ACL2 を使うのに必要な概念で ACL2 の中でも特に理解が進んでない部分であり、正しく読破できた場合にこれが学べるのは大変有り難いことだ。また、集合論の入門の最後の章に設置されるような概念でありやっぱそんな簡単な概念じゃないんだなと納得もした(軽く概念を学んでフィーリングで使って順序数を使ってメジャー関数を定義してアッカーマン関数的なやつの停止性の証明をしてみたことはあるけどあんま釈然としてなかった)。

以前といっても購入したのは 2017 年であり、何で購入したのかは覚えてない。そのときは順序数(特に超限順序数)についてはなんら知識はなかったのにもかかわらず、最終章に順序数について記述のある本を手にとっていたものなのだから不思議な話である。

軽く眺めた感じ、第一章と第二章は割と普通に読めそうなんだけど、第三章からは私にとって新規の概念が大量に導入され話が急激に難しくなり第三章を正確に理解しないとその後の理解も困難そうなのでそこが山場のように思える。

一度練習問題を解かずに最後まで読み流してみたところ、集合族、集合の分割、選択公理の話が始まるあたりから急激に難しくなるのを感じた。

まあ、ちゃんと練習問題を解きながら進めたり、分かんなくなったら最初の章に戻って読み直すとかりを繰り返せばなんとか読めるだろうなとは楽観的に思ってる。

集合の分割は数学的な意味ではあまり理解できなかったが、素朴に何を言っているのかは分かりとても面白そうに感じた。集合の有限分割と無限分割は本当に面白く、今後日常的に何らかの現象を観測したときに集合の分割として解釈してしまうんじゃないかと思うくらい面白い概念のように思う。

まあ、あと選択公理を仮定しないと証明できない良さげな定理はあるが、導入するとなんか直感的には変な定理も証明できるという話の流れがあることも掴んでいて内容に面白みを感じられるんで続けられると思う。

本当、第二章のクラスの導入あたりまでは楽勝そうなのに、第三章で急激に難しくなるとは驚いた。これが数学書なのかって思ったわ。

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第一章の p.12でなんか集合の相等性について他の集合論の書籍では集合論のなかで「定義」している場合があることについて急にディスり始めたのには驚いた。ようは `=`ついて成り立つ性質は集合論の中で定義することはできず、相等性の公理として最初から認めておかないといけないということらしい。このあたりからちょっとこの本の独特さを感じ始めて面白そうに思った。

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あと、ACL2 を使って例題とか定理の証明を進めていこうと最初は思ってたんだけどそうそうに諦めた。私にはまだ早いしどうやって無限集合に関する問題を ACL2 に落とし込めばいいのか分からんし不可能なのかもしれないわけで更に苦労もするんで、当然のことながら紙とペンで進めた方が良い。

@tojoqk@mastodon.tojo.tokyo
子供と大人の2つの集合があってそれらを集めた集合はすべて大人か全て子供であるというパラドックスあるね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%99%E3%81%B9%E3%81%A6%E3%81%AE%E9%A6%AC%E3%81%AF%E5%90%8C%E3%81%98%E8%89%B2

@tacumi
これは数学的帰納法を使って全て大人と全て子供の両方の証明を試みようとしたときに基底の部分に誤りがあると両方成功してしまうという誤謬の例なんですね。

私の考えた限り(考慮不足である可能性は十分にあるのですが)では相等性を集合論の中で定義してしまった場合に発生するものとは無縁に感じました。特に返信がなければパラドックスの例示をしていただいたのだと解釈します。
(18歳未満を子供、18歳以上を大人と定義して和集合をとれば何も問題なくそのようなパラドックスは起きないのではないか?というような見当違いなことを考えてまったのですが Wikipedia 側の説明を読んで主旨を理解しました。教科書を読んだ限り和集合の定義は相等性について集合論の中で定義してしまっていても不都合はなさそうなので……。そう考えたのはこの場合は集合の集合を扱っているわけではないからというのが根拠です)

@tojoqk@mastodon.tojo.tokyo
=を公理としないといけないのには集合のなかに同一の要素が2つ以上あると困ることがあるんだと思います。
要素の値としては同じでも異なる要素だからっつって演算が定義できたりするんでしょうか。

@tacumi
集合を導入する時点で同一の要素を二つ以上記載した場合は一つとして見做すとすると習いました。スレッド元の書籍の p.8 です。この時点で一つの集合の中に同一の要素が2つ以上ある場合についての問題は払拭できているように思えます。「集合 A と集合 B が A のどの元も B の元であり B のどの元も A の元であるときに等しい」というような = の定義をしたとしても支障はないように思えます。
和集合の演算は p.20 の定義 4.1.にて集合Aと集合Bに対する和集合は下記の同値関係として導入されました。

x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A または x ∈ B

和集合については単に上記のように定義されているため、集合について上記の「」の定義をしていたとしてもとくに問題は発生しないのではないかと考えました。

@tacumi スレッド元の書籍の p.14 に記載があるのですが、集合の相等性を定義してしまった場合、集合の集合を考慮した場合に問題があるようなのです。
私はそのような問題が実際に生じる具体例をいまのところ発見できていないのですが、確かに集合論の中で集合の相等性を定義してしまうと集合の元が集合である場合について考慮できているようには思えないのでなんとなくそれで納得していますが厳密に分かっているかと問われると厳しい状態です。

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